Liczby naturalne to liczby używane do liczenia i porządkowania elementów, na przykład 1, 2, 3, 4 i kolejne. W matematyce spotkasz dwie poprawne konwencje: jedną, w której zbiór zaczyna się od 1, oraz drugą, która obejmuje także 0.
Co to jest liczba naturalna?
Liczby naturalne tworzą podstawowy zbiór liczb wykorzystywany przy określaniu liczby przedmiotów, kolejności lub miejsca w szeregu. Należą do niego między innymi 1, 2, 3, 10 i 125.
Nie ma największej liczby naturalnej, ponieważ do każdej można dodać 1 i otrzymać następną. Wątpliwości dotyczą głównie zera. W części podręczników przyjmuje się, że 0 jest liczbą naturalną, a w innych definicjach zbiór liczb naturalnych zaczyna się od 1. Dlatego przed rozwiązaniem zadania trzeba sprawdzić, jaką konwencję przyjęto.
Jakie są oznaczenia zbiorów liczb naturalnych?
Symbol ℕ jest najczęściej używany jako oznaczenie liczb naturalnych, ale jego dokładne znaczenie może zależeć od autora. Zapis ℕ₀ jednoznacznie wskazuje, że zero należy do zbioru.
| Symbol | Nazwa | Zakres |
|---|---|---|
| ℕ | Liczby naturalne bez zera | {1, 2, 3, 4, …} |
| ℕ₀ | Liczby naturalne z zerem | {0, 1, 2, 3, 4, …} |
Nie oznacza to, że jedna z tych definicji jest błędna. Są to dwie stosowane konwencje. W zadaniach szkolnych najlepiej kierować się oznaczeniami i definicją podanymi w podręczniku lub przez nauczyciela.
Jakie właściwości mają liczby naturalne?
Zbiór liczb naturalnych ma kilka prostych cech, które odróżniają go od szerszych zbiorów liczbowych:
- Następnik – dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba n + 1, czyli jej następnik. Następnikiem liczby 6 jest 7.
- Nieskończoność – zbiór nie ma końca. Bez względu na to, jak dużą liczbę wybierzesz, można wskazać większą, dodając 1.
- Dyskretność – między dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi nie ma innej liczby naturalnej. Między 8 i 9 nie znajduje się żadna kolejna liczba z tego zbioru.
- Uporządkowanie – liczby naturalne można ustawić rosnąco, od najmniejszej przyjętej wartości, czyli od 0 albo od 1.
Dodawanie i mnożenie liczb naturalnych zawsze daje liczbę naturalną. Inaczej jest z odejmowaniem i dzieleniem. Na przykład 3 – 5 nie jest liczbą naturalną, a wynik działania 7 : 3 nie jest liczbą naturalną, ponieważ nie ma naturalnego ilorazu.
Jak liczby naturalne odnoszą się do innych zbiorów?
Liczby naturalne są podzbiorem liczb całkowitych. Liczby całkowite obejmują naturalne, zero oraz liczby ujemne, takie jak –1, –2 i –3. Z kolei liczby całkowite należą do liczb wymiernych, ponieważ każdą z nich można zapisać jako ułamek z mianownikiem równym 1, na przykład 4 = 4/1.
W skrócie, liczby naturalne służą przede wszystkim do liczenia, a liczby całkowite i wymierne pozwalają opisywać także wartości ujemne, części całości oraz wyniki bardziej złożonych działań.
Najważniejsze jest rozróżnienie dwóch konwencji: 0 może należeć do liczb naturalnych, ale nie musi. Zapis ℕ₀ zawsze oznacza zbiór zawierający zero.
